En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, un polynôme de Bell, nommé ainsi d'après le mathématicien
Eric Temple Bell, est défini par:
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d941b3914d8b73d06a51f48283b9a2202e53f4)
où la somme porte sur toutes les suites j1, j2, j3, …, jn−k+1 d'entiers naturels telles que :
et ![{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00a572d26728d634083f161ec0b1760efd6d619)
La somme
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106fb707a0014013071093241c40708b450e21d8)
est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes Bn, k définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ».
Les polynômes de Bell complets Bn peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice :
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}{0 \choose 0}x_{1}&{1 \choose 0}x_{2}&{2 \choose 0}x_{3}&{3 \choose 0}x_{4}&\cdots &{n-2 \choose 0}x_{n-1}&{n-1 \choose 0}x_{n}\\\\-1&{1 \choose 1}x_{1}&{2 \choose 1}x_{2}&{3 \choose 1}x_{3}&\cdots &{n-2 \choose 1}x_{n-2}&{n-1 \choose 1}x_{n-1}\\\\0&-1&{2 \choose 2}x_{1}&{3 \choose 2}x_{2}&\cdots &{n-2 \choose 2}x_{n-3}&{n-1 \choose 2}x_{n-2}\\\\0&0&-1&{3 \choose 3}x_{1}&\cdots &{n-2 \choose 3}x_{n-4}&{n-1 \choose 3}x_{n-3}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &{n-2 \choose n-2}x_{1}&{n-1 \choose n-2}x_{2}\\\\0&0&0&0&\cdots &-1&{n-1 \choose n-1}x_{1}\end{vmatrix}}=\left|{j-1 \choose i-1}x_{j-i+1}-\delta _{j-i+1}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224ffb9e125edf8f6bd47197b3d8f15eadfaac8f)
avec δk le symbole de Kronecker.
La matrice dont Bn est le déterminant est une matrice de Hessenberg.
Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j1 fois, "2" apparait j2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.
Par exemple, nous avons :
![{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f652d968d23f71f42f7c36dc986b334533e60e73)
car il y a :
- 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ;
- 15 partitions de la forme 4 + 2 ;
- 10 partitions de la forme 3 + 3.
De même :
![{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201279c5db782fa9fe3ca5e10ef39fff66f20c61)
car il y a :
- 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ;
- 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ;
- 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.
![{\displaystyle B_{n+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})\,x_{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\,x_{n-k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9761df7b538c74cd98031e11c3e6c73602a4c37f)
- avec B0 = 1.
Démonstration
La matrice
étant une matrice de Hessenberg, on peut développer son déterminant selon la dernière colonne, donnant la formule de récurrence.
![{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)={\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528d89e67d1a43f0dd705e73f6ee0820dbef0966)
![{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=B_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7931c0f42c1a6cc0830337ec49c4dbea91b7c3)
Démonstration
![{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}=B_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea58946fef18cc367c681b7c04ebbe148c19012)
![{\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25af6d908258f6791267ecae287356643c2e8ced)
![{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1590a34bbcb235185c361ab3ea48a0acfb1483c)
pour n ≥ 1.
![{\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafe75df231caf4643076ecab6214d7dfd53d066)
![{\displaystyle B_{n}(-0!,-1!,\dots ,-(n-1)!)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb797bea5eab67e81969da23e1b8bc68a758bdd)
![{\displaystyle B_{n,1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4216d40306ab29e137d3a71be163a1a9ef1bc14a)
![{\displaystyle \forall k>1,B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},x_{n-k+2},\dots ,x_{n})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1},0,\dots ,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c794e6ae06a3598484f4fe1a1592f42138d33d53)
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},x_{n})=B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1},0)+x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41076a9285c8efa2ae65362c4eda7e58230676b6)
![{\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k})B_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd3994307e3f7642da7a9e2826e15858496d505)
avec B0 = 1.
Soit f une fonction infiniment dérivable en un point a et de réciproque f -1, alors :
[1]
En prenant f (x) = ex (soit f –1(x) = ln(x)) infiniment dérivable en 0, on a :
![{\displaystyle [f]_{x=0}^{(k)}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5483e67647dfeed814c7f2d45ec593259f53a1f)
![{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(0)}^{(k)}=(-1)^{k-1}(k-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82180500cde8c4c46b18950f626718b9c17caf3)
d’où :
![{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3d48f6c550088befba09240d3248bc8376908d)
soit :
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61f83b0986946659b8a0cf48ed79fea30a9beb5)
En prenant f (x) = xα avec α ≠ 0 (soit f –1(x) = x1/α) infiniment dérivable en 1, on a :
![{\displaystyle [f]_{x=1}^{(k)}=\alpha ^{\underline {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3422af05f8a535dcfbcc2375ca38e103aae742c)
![{\displaystyle [f^{-1}]_{x=f(1)}^{(k)}=\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d4d0cbc689cf49aea3a7029efd03806bec2713)
avec .k la factorielle décroissante, d’où :
![{\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\Leftrightarrow x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{\alpha }}\right)^{\underline {k}}B_{n,k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4447182a668ef924adca2ab0e95a755bfee1fe7)
[2]
avec .k la factorielle décroissante.
- Cas général
![{\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0533a92bf5fd13f41704e1dc15751f9ac5b09f90)
- Cas particuliers
![{\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n-k+1})=\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf40de11b9acf6ab16b0153807995ea87d43d27)
![{\displaystyle B_{n,k}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05204c80c66c4b2f42c817511588766f2244d54a)
- Cas général
![{\displaystyle B_{n}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\dots ,\alpha \beta ^{n}x_{n})=\beta ^{n}\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4af3b2000b170279c4da7bfb3d4de39b99dd0e)
- Cas particuliers
![{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{k}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3148da734ea94403c6b6d96abcc289ee541191b1)
![{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha ^{2}x_{2},\dots ,\alpha ^{n}x_{n})=\alpha ^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416dbbaecc3677a613066b42545e6983e6216cb1)
- Autre expression
![{\displaystyle B_{n}(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n})=\sum _{k=1}^{n}\alpha ^{\underline {k}}B_{n,k}[B_{1}(x_{1}),B_{2}(x_{1},x_{2}),\dots ,B_{n-k+1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea5daf529a20a5d6685577948a78d93328e64c8)
avec .k la factorielle décroissante.
Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, …, on peut définir un produit de convolution par :
![{\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0018979511e0fa24a3a23ad1b60b5df2c23fa8c4)
(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).
Soit
le n-ème terme de la suite
Alors :
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f617f075f482655b1ee0579342f68fa12a6a1c)
La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :
![{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f297e25b421397f9f6d847f3a24d54e1c980a35)
De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que
et ![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7b2d192783a0e43d4bbde1cad4ac9f237901fa)
Alors :
![{\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3759b79d01b0b5879b6abfd2b35bea08c7279a43)
Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle :
![{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f146a7af8c7065418c9bf722de1683f4fafea7f)
Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre r existe, on a :
![{\displaystyle m_{r}=B_{r}(\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cdc532c581bf2f9d1e355b8e6018b40af03f16)
avec mr le moment ordinaire d’ordre r et κ1, κ2, …, κr les cumulants d’ordre 1 à r.
Pour toute suite a1, a2, a3, … de scalaires, soit :
![{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f989859ff79de45e340d0301e6a51b44027de7)
Cette suite de polynômes est de type binomial, c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale suivante :
![{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b5052c2fa895d69387ad1fffc41150ea18ab7a)
pour n ≥ 0.
En fait, on a également la réciproque :
Théorème — Toutes les suites de polynômes de type binomial peuvent s’exprimer sous la forme faisant intervenir les polynômes de Bell.
Si nous posons
![{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad67991b2ae95178eacf60cc909d5f272b175162)
en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n :
![{\displaystyle h^{-1}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ec3daf5489801980df35855c6229f5e050e50d)
- ↑ (en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “Application of Faà di Bruno’s formula in characterization of inverse relations”, dans Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 190, 2006, p. 151–169
- ↑ (en) Andrzej Korzeniowski, “Binomial Tails Domination for Random Graphs via Bell Polynomials”, dans JPSS, vol. 4, n° 1, 2006, p. 99-105
- (en) Eric Temple Bell, « Partition Polynomials », Ann. Math., vol. 29, nos 1/4, 1927-1928, p. 38-46 (DOI 10.2307/1967979)
- (en) Louis Comtet, Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland/Boston-U.S., 1974
- (en) Steven Roman (en), The Umbral Calculus, Dover Publications